Jawaban Esai Ayo Kita Berlatih 7.4 Bab 7 MTK Halaman 104 Kelas 8 (Lingkaran)
Ayo Kita Berlatih 7.4
Halaman 102-103-104
B. Esai/essay/uraian
Bab 7 (Lingkaran)
Matematika (MTK)
Kelas 8 SMP/MTS
Semester 2 K13
B. Esai
1. Diketahui jarak antara pusat lingkaran A dan B adalah 10 cm. Lingkaran A dan B memiliki jari-jari berturut-turut 11 cm dan 3 cm. Tentukan:
a. panjang garis singggung persekutuan luarnya (jika ada);
b. sketsa gambarnya (lengkap dengan garis singgung persekutuan luarnya, jika ada).
Penyelesaian:
Diketahui :
jarak pusat lingkaran AB = 10 cm
jari-jari A = 11 cm
jari-jari B = 3 cm
Ditanya :
a. panjang garis singgung persekutuan luar
b. sketsa gambar garis singgung persekutuan luar
Jawab :
a. panjang garis singgung persekutuan luar
garis singgung persekutuan luar kita beri nama CD
CD² = AB² - (AD - BC)²
= 10² - (11 - 3)²
= 10² - 8²
= 100 - 64
= 36
CD = √36
= 6 cm
Jadi panjang garis singgung persekutuan luar adalah 6 cm
b. Sketsa gambar garis singgung persekutuan luar bisa dilihat pada lampiran.
__________________________
2. Diketahui panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran C dan D adalah 24 cm. Jari-jari lingkaran C dan D berturut-turut 15 cm dan 8 cm. Tentukan:
a. jarak pusat kedua lingkaran tersebut (jika ada);
b. jarak kedua lingkaran tersebut (jika ada).
Penyelesaian:
a] Jarak pusat = √(garis singgung² + (R - r)²)
Jarak pusat = √(24² + (15 - 8)²)
Jarak pusat = √(576 + 49)
Jarak pusat = √(625)
Jarak pusat = 25 cm
b] Jarak kedua lingkaran
= jarak pusat - (R + r)
= 25 - (15 + 8)
= 25 - 23
= 2 cm
__________________________
3. Diketahui jarak antara lingkaran E dan F adalah 5 cm. Lingkaran E dan F memiliki jari-jari berturut-turut 13 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut. (jika ada)
Penyelesaian:
S (jarak) = 5 cm
R (rE) = 13 cm
r (rF) = 4 cm
p (pusat) = s (jarak) + R + r
= 5 + 13 + 4
= 22 cm
d (garis singgung persekutuan luar) = √(p^2 – (R - r)^2)
= √(22^2 - (13 - 4)^2)
= √(484 - (9)^2)
= √(484 - 81)
= √403
= 20,1 cm
__________________________
4. Diketahui jumlah diameter lingkaran G dan H adalah 30 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm. Sedangkan jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 26 cm. Tentukan:
a. jari-jari kedua lingkaran tersebut,
b. jarak kedua lingkaran.
Penyelesaian:
Diketahui :
d₁ + d₂ = 30 cm
garis singgung persekutuan luar (d) = 24 cm
jarak pusat kedua lingkaran (p) = 26 cm
Ditanya :
a. jari-jari kedua lingkaran tersebut
b. jarak kedua lingkaran
Jawab :
jumlah jari-jari kedua lingkaran
d₁ + d₂ = 30
2R + 2r = 30 (kesemua ruas dibagi 2)
R + r = 15 ... pers I
selisih jari-jari kedua lingkaran
d² = p² - (R - r)²
24² = 26² - (R - r)²
576 = 676 - (R - r)²
(R - r)² = 676 - 576
(R - r)² = 100
R - r = √100
R - r = 10 ... pers II
a. menentukan panjang jari-jari kedua lingkaran
eliminasi pers I dan II
R + r = 15
R - r = 10
------------- +
2R = 25
R = 25/2
R = 12,5 cm
subtitusi
R + r = 15
12,5 + r = 15
r = 15 - 12,5
r = 2,5 cm
Jadi jari-jari kedua lingkara tersebut adalah 12,5 cm dan 2,5 cm
b. Menentukan jarak kedua lingkaran
KL = p - (R + r)
= 26 cm - (12,5 + 2,5) cm
= 26 cm - 15 cm
= 11 cm
Jadi jarak kedua lingkaran tersebut adalah 11 cm
__________________________
5. Diketahui jarak pusat lingkaran I dan J adalah 12 cm. Lingkaran I memiliki jari-jari 8 cm. Tentukan jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J. Jelaskan alasanmu.
Penyelesaian:
Diketahui
Jari-jari lingkaran I = 8 cm
Jarak kedua pusat lingkaran I dan J = 12 cm
Ditanya
Jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J
Jawab
Meskipun sepintas kasus ini termasuk dalam materi Lingkaran kelas VIII, namun ternyata dapat dikategorikan ke dalam aplikasi Pertidaksamaan SMA.
Siapkan
Jarak antar pusat JP = 12 cm
r₁ = jari-jari lingkaran J
r₂ = jari-jari lingkaran I
Perhatikan skema gambar terlampir
Step-1
Rumus garis singgung persekutuan luar (GSPL)
Hubungan antara GSPL, JP (jarak antar pusat), dan jari-jari adalah
Anggap r₁ > r₂
Step-2
Syarat agar terdapat GSPL
Dari rumus di atas, syarat agar GSPL terdefinisikan adalah GSPL > 0
⇔ GSPL > 0
⇔
Selanjutnya, ingat syarat domain bagi fungsi di dalam akar kuadrat. Untuk
maka f(x) ≥ 0.
⇔
Anggap r₂ sebagai jari-jari lingkaran terkecil, dalam hal ini r₂ = 8 cm
⇔ 12² - (r₁ - 8)² ≥ 0
⇔ (r₁ - 8)² ≤ 12²
⇔ (r₁ - 8)² - 12² ≤ 0 ⇒ a² - b² = (a - b)(a + b)
⇔ (r₁ - 8 - 12)(r₁ - 8 + 12) ≤ 0
⇔ (r₁ - 20)(r₁ + 4) ≤ 0
Diperoleh r₁ = -4 dan r₂ = 20.
Uji tanda pada garis bilangan menghasilkan batas-batas nilai r₁, yakni
-4 ≤ r₁ ≤ 20.
Perhatikan, karena jari-jari lingkaran harus bernilai positif dan GSPL tidak mungkin sama dengan nol, batas-batas tersebut menjadi 0 < r₁ < 20.
Ingat
r₁ = jari-jari lingkaran J
r₂ = jari-jari lingkaran I
Kesimpulan:
Agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J, panjang jari-jari lingkaran J harus kurang dari 20 cm.
Atau, dengan kata lain panjang jari-jari lingkaran J maksimal nilainya mendekati 20 cm.
__________________________
Halaman 102-103-104
B. Esai/essay/uraian
Bab 7 (Lingkaran)
Matematika (MTK)
Kelas 8 SMP/MTS
Semester 2 K13
B. Esai
1. Diketahui jarak antara pusat lingkaran A dan B adalah 10 cm. Lingkaran A dan B memiliki jari-jari berturut-turut 11 cm dan 3 cm. Tentukan:
a. panjang garis singggung persekutuan luarnya (jika ada);
b. sketsa gambarnya (lengkap dengan garis singgung persekutuan luarnya, jika ada).
Penyelesaian:
Diketahui :
jarak pusat lingkaran AB = 10 cm
jari-jari A = 11 cm
jari-jari B = 3 cm
Ditanya :
a. panjang garis singgung persekutuan luar
b. sketsa gambar garis singgung persekutuan luar
Jawab :
a. panjang garis singgung persekutuan luar
garis singgung persekutuan luar kita beri nama CD
CD² = AB² - (AD - BC)²
= 10² - (11 - 3)²
= 10² - 8²
= 100 - 64
= 36
CD = √36
= 6 cm
Jadi panjang garis singgung persekutuan luar adalah 6 cm
b. Sketsa gambar garis singgung persekutuan luar bisa dilihat pada lampiran.
__________________________
2. Diketahui panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran C dan D adalah 24 cm. Jari-jari lingkaran C dan D berturut-turut 15 cm dan 8 cm. Tentukan:
a. jarak pusat kedua lingkaran tersebut (jika ada);
b. jarak kedua lingkaran tersebut (jika ada).
Penyelesaian:
a] Jarak pusat = √(garis singgung² + (R - r)²)
Jarak pusat = √(24² + (15 - 8)²)
Jarak pusat = √(576 + 49)
Jarak pusat = √(625)
Jarak pusat = 25 cm
b] Jarak kedua lingkaran
= jarak pusat - (R + r)
= 25 - (15 + 8)
= 25 - 23
= 2 cm
__________________________
3. Diketahui jarak antara lingkaran E dan F adalah 5 cm. Lingkaran E dan F memiliki jari-jari berturut-turut 13 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut. (jika ada)
Penyelesaian:
S (jarak) = 5 cm
R (rE) = 13 cm
r (rF) = 4 cm
p (pusat) = s (jarak) + R + r
= 5 + 13 + 4
= 22 cm
d (garis singgung persekutuan luar) = √(p^2 – (R - r)^2)
= √(22^2 - (13 - 4)^2)
= √(484 - (9)^2)
= √(484 - 81)
= √403
= 20,1 cm
__________________________
4. Diketahui jumlah diameter lingkaran G dan H adalah 30 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm. Sedangkan jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 26 cm. Tentukan:
a. jari-jari kedua lingkaran tersebut,
b. jarak kedua lingkaran.
Penyelesaian:
Diketahui :
d₁ + d₂ = 30 cm
garis singgung persekutuan luar (d) = 24 cm
jarak pusat kedua lingkaran (p) = 26 cm
Ditanya :
a. jari-jari kedua lingkaran tersebut
b. jarak kedua lingkaran
Jawab :
jumlah jari-jari kedua lingkaran
d₁ + d₂ = 30
2R + 2r = 30 (kesemua ruas dibagi 2)
R + r = 15 ... pers I
selisih jari-jari kedua lingkaran
d² = p² - (R - r)²
24² = 26² - (R - r)²
576 = 676 - (R - r)²
(R - r)² = 676 - 576
(R - r)² = 100
R - r = √100
R - r = 10 ... pers II
a. menentukan panjang jari-jari kedua lingkaran
eliminasi pers I dan II
R + r = 15
R - r = 10
------------- +
2R = 25
R = 25/2
R = 12,5 cm
subtitusi
R + r = 15
12,5 + r = 15
r = 15 - 12,5
r = 2,5 cm
Jadi jari-jari kedua lingkara tersebut adalah 12,5 cm dan 2,5 cm
b. Menentukan jarak kedua lingkaran
KL = p - (R + r)
= 26 cm - (12,5 + 2,5) cm
= 26 cm - 15 cm
= 11 cm
Jadi jarak kedua lingkaran tersebut adalah 11 cm
__________________________
5. Diketahui jarak pusat lingkaran I dan J adalah 12 cm. Lingkaran I memiliki jari-jari 8 cm. Tentukan jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J. Jelaskan alasanmu.
Penyelesaian:
Diketahui
Jari-jari lingkaran I = 8 cm
Jarak kedua pusat lingkaran I dan J = 12 cm
Ditanya
Jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J
Jawab
Meskipun sepintas kasus ini termasuk dalam materi Lingkaran kelas VIII, namun ternyata dapat dikategorikan ke dalam aplikasi Pertidaksamaan SMA.
Siapkan
Jarak antar pusat JP = 12 cm
r₁ = jari-jari lingkaran J
r₂ = jari-jari lingkaran I
Perhatikan skema gambar terlampir
Step-1
Rumus garis singgung persekutuan luar (GSPL)
Hubungan antara GSPL, JP (jarak antar pusat), dan jari-jari adalah
Anggap r₁ > r₂
Step-2
Syarat agar terdapat GSPL
Dari rumus di atas, syarat agar GSPL terdefinisikan adalah GSPL > 0
⇔ GSPL > 0
⇔
Selanjutnya, ingat syarat domain bagi fungsi di dalam akar kuadrat. Untuk
⇔
Anggap r₂ sebagai jari-jari lingkaran terkecil, dalam hal ini r₂ = 8 cm
⇔ 12² - (r₁ - 8)² ≥ 0
⇔ (r₁ - 8)² ≤ 12²
⇔ (r₁ - 8)² - 12² ≤ 0 ⇒ a² - b² = (a - b)(a + b)
⇔ (r₁ - 8 - 12)(r₁ - 8 + 12) ≤ 0
⇔ (r₁ - 20)(r₁ + 4) ≤ 0
Diperoleh r₁ = -4 dan r₂ = 20.
Uji tanda pada garis bilangan menghasilkan batas-batas nilai r₁, yakni
-4 ≤ r₁ ≤ 20.
Perhatikan, karena jari-jari lingkaran harus bernilai positif dan GSPL tidak mungkin sama dengan nol, batas-batas tersebut menjadi 0 < r₁ < 20.
Ingat
r₁ = jari-jari lingkaran J
r₂ = jari-jari lingkaran I
Kesimpulan:
Agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J, panjang jari-jari lingkaran J harus kurang dari 20 cm.
Atau, dengan kata lain panjang jari-jari lingkaran J maksimal nilainya mendekati 20 cm.
__________________________
Post a Comment for "Jawaban Esai Ayo Kita Berlatih 7.4 Bab 7 MTK Halaman 104 Kelas 8 (Lingkaran)"