Jawaban Esai Uji Kompetensi Bab 6 MTK Halaman 49 Kelas 8 (Teorema Pythagoras)
Uji Kompetensi Bab 6
Halaman 49-52
B. Esai/essay/uraian
Bab 6 (Teorema Pythagoras)
Matematika (MTK)
Kelas 8 SMP/MTS
Semester 2 K13
Penyelesaian:
Diketahui sisi miring segitiga siku-siku adalah r = (3a + 4) dan dua sisi yang lain adalah p = (a + 4) dan q = (3a + 2), dengan teorema pythagoras, diperoleh:
p² + q² = r²
(a + 4)² + (3a + 2)² = (3a + 4)²
(a + 4)(a + 4) + (3a + 2)(3a + 2) = (3a + 4)(3a + 4)
(a² + 4a + 4a + 16) + (9a² + 6a + 6a + 4) = 9a² + 12a + 12a + 16
(a² + 8a + 16) + (9a² + 12a + 4) = 9a² + 24a + 16
10a² + 20a + 20 = 9a² + 24a + 16
10a² + 20a + 20 – 9a² – 24a – 16 = 0
a² – 4a + 4 = 0
a² – 2a – 2a + 4 = 0
a(a – 2) – 2(a – 2) = 0
(a – 2)(a – 2) = 0
(a – 2)² = 0
(a – 2) = √0
a – 2 = 0
a = 2
_______________________________
2. Tentukan apakah ∆ABC dengan koordinat A(−2, 2) ,B(−1, 6) dan C(3, 5) adalah suatu segitiga siku-siku? Jelaskan.
Penyelesaian:
Tentukan panjang ketiga sisi segitiga tersebut :
AB = √(6-2)²+(-1+2)² = √(16+1) = √17
AC = √(5-2)²+(3+2)² = √(9+25) = √34
BC = √(5-6)²+(3+1)² = √(1+16) = √17
cek theorema pythagoras :
AB² + BC² = AC²
√17² +√17² = √34²
17 + 17 = 34
34 = 34
BENAR, ini adalah segitiga siku-siku
_______________________________
3. Buktikan bahwa (a2 − b2), 2ab, (a2 + b2) membentuk tripel Pythagoras.
Penyelesaian:
Diketahui panjang sisi-sisi segitiga, yaitu :
(a² - b²), 2ab, (a² + b²).
Misalkan p = (a² - b²), q = 2ab, dan r = (a² + b²).
Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
p² + q² = r²
⇔ (a² - b²)² + (2ab)² = (a² + b²)²
⇔ (a²)² + [2a²(-b²)] + (-b²)² + 2²a²b² = (a²)² + 2a²b² + (-b²)²
⇔ a⁴ - 2a²b² + b⁴ + 4a²b² = a⁴ + 2a²b² + b⁴
⇔ a⁴ - 2a²b² + b⁴ + 4a²b² - a⁴ - 2a²b² - b⁴ = 0
⇔ 0 = 0
Jadi, terbukti bahwa (a² - b²), 2ab, (a² + b²) membentuk Tripel Pythagoras.
_______________________________
4. Perhatikan gambar di samping. Persegi ABCD mempunyai panjang sisi 1 satuan dan garis AC adalah diagonal.
a. Bagaimana hubungan antara segitiga ABC dan segitiga ACD?
b. Tentukan besar sudut-sudut pada salah satu segitiga di samping.
c. Berapakah panjang diagonal AC? Jelaskan.
d. Misalkan panjang sisi persegi ABCD 6 satuan. Apakah yang berubah dari jawabanmu pada soal b dan c? Jelaskan.
Penyelesaian:
A). Δ ABC = Δ ACD
b). ∠ ABC = ∠ ADC = 90°
∠ ACB = ∠ ACD = 45°
∠ BAC = ∠ DAC = 45°
c). AC = √(AB² + BC²)
= √ 1² + 1²
= √2 satuan
d). Pada jawaban soal no b tidak ada yang berubah. Pada soal no c panjang AC berubah, yaitu:
AC = √(AB² + BC²)
= √ 6² + 6²
= √72 satuan
_______________________________
5. Tentukan nilai x dari gambar di bawah ini.
Penyelesaian:
_______________________________
6. Tentukan keliling segitiga ABC di bawah ini.
Penyelesaian:
Untuk gambar segitiga ABC dan perbandingannya bisa dilihat pada dibawah ini.
Segitiga ABC mempunyai sudut 30° dan 60°.
Sisi yang diketahui adalah sisi AD = 8 cm
AB : BC : AC = √3 : 2 : 1
Menentukan panjang BC
AB : BC = √3 : 2
8 : BC = √3 : 2
BC√3 = 2 × 8
BC =
BC =
BC =
cm
Menentukan panjang AC
AB : AC = √3 : 1
√3 AC = 8 × 1
AC =
AC =
AC =
cm
Keliling ∆ ABC = AB + BC + AC
= (8 +
+ ) cm
= (8 +
) cm
= (8 + 8√3) cm
= 8 (1 + √3) cm
Jadi keliling segitiga ABC adalah 8 (1 + √3) cm
_______________________________
7. Sebuah air mancur terletak di tengah perempatan jalan di pusat kota. Mobil merah dan mobil hijau sama-sama melaju meninggalkan air mancur tersebut. Mobil merah melaju dengan kecepatan 60 km/jam sedangkan mobil hijau 80 km/jam.
a. Buatlah tabel yang menunjukkan jarak yang ditempuh kedua mobil dan jarak kedua mobil tersebut setelah 1 jam, 2 jam, dan 3 jam. Gambarkan perubahan jarak tersebut.
b. Misalkan mobil merah melaju dengan kecepatan 40 km/jam. Setelah 2 jam jarak antara kedua mobil 100 km. Berapakah kecepatan mobil hijau pada saat itu?
Keterangan: Jarak kedua mobil yang dimaksud adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedudukan dua mobil tersebut.
Penyelesaian:
A. mobil hijau 80 KM/JAM
waktu jarak
1 jam 80 km
2 jam 160km
3 jam 240 km
mobil merah 60 km/jam
waktu jarak
1 jam 60km
2 jam 120 km
3 jam 180 km
jarak antar mobil
1 jam 100 km
2 jam 200 km
3 jam 300 km
b. mobil merah 40 km/jam
jarak mobil 100 km
2 jam
mobil merah 80 km dr air mancur
√(100km kuadrat-80 km kuadrat)
mobil hijau=60km dr air mancur
krn 2jam
jd 30 km/jam
_______________________________
8. Perhatikan gambar segitiga ABC di bawah ini.
a. Tentukan keliling segitiga ACD.
b. Apakah hubungan antara keliling segitiga ACD dan ABC?
c. Apakah hubungan antara luas segitiga ACD dan ABC?
Penyelesaian:
diketahui AD = 8 cm pada Δ ADC
a. Menentukan keliling segitiga ACD
Perhatikan Δ ACD siku-siku di D,
∠ CAD = 60° dan ∠ ACD = 30°
AC : AD = 2 : 1
AC : 8 = 2 : 1
AC = 8 × 2
AC = 16 cm
AD : CD = 1 : √3
8 : CD = 1 : √3
8 / CD = 1 / √3
CD = 8 × √3
CD = 8√3 cm
Keliling Δ ACD = AD + CD + AC
= 8 cm + 8√3 cm + 16 cm
= 24 cm + 8√3 cm
= 8 (3 + √3) cm
b. Hubungan antara keliling Δ ACD dan Δ ABC
Perhatikan Δ ABC siku-siku di C, AC = 16 cm, ∠ CBA = 30° dan ∠ BAC = 60°
AC : BC = 1 : √3
16 : BC = 1 : √3
16 / BC = 1 / √3
BC = 16 × √3
BC = 16√3 cm
AC : AB = 1 : 2
16 : AB = 1 : 2
16 / AB = 1 / 2
AB = 16 × 2
AB = 32 cm
Keliling Δ ABC = AB + BC + AC
= 32 cm + 16√3 + 16 cm
= 48 cm + 16√3 cm
= 16 (3 + √3) cm
Hubungan keliling Δ ACD dan Δ ABC
selisih keliling Δ ABC dan Δ ACD
= 16 (3 + √3) cm - 8 (3 + √3) cm
= 8 (3 + √3) cm
perbandingan keliling Δ ACD dan Δ ABC
= 8 (3 + √3) : 16 (3 + √3)
= 1 : 2
c. Hubungan antara luas Δ ACD dan Δ ABC
Luas Δ ACD = 1/2 × AD × CD
= 1/2 × 8 cm × 8√3 cm
= 32√3 cm²
Luas Δ ABC = 1/2 × AC × BC
= 1/2 × 16 cm × 16√3 cm
= 8 cm × 16√3 cm²
= 128√3 cm²
selisih luas Δ ABC dan Δ ACD
= 128√3 cm² - 32√3 cm²
= 96√3 cm²
Perbandingan luas Δ ACD dan luas Δ ABC
= 32√3 cm² : 128√3 cm²
= 1 : 4
_______________________________
9. Gambar di bawah ini merupakan balok ABCD.EFGH dengan panjang10 dm, lebar 6 dm, dan tinggi 4 dm. Titik P dan Q berurut-urut merupakan titik tengah AB dan FG. Jika seekor laba-laba berjalan di permukaan balok dari titik P ke titik Q, tentukan jarak terpendek yang mungkin ditempuh oleh laba-laba.
Penyelesaian:
_______________________________
10. Pada gambar di bawah ini, ketiga sisi sebuah segitiga siku-siku ditempel setengah lingkaran.
a. Tentukan luas setiap setengah lingkaran.
b. Bagaimanakah hubungan ketiga luas setengah lingkaran tersebut!
Penyelesaian:
A.
luas 1/2 lingkaran pada alas ( luas A)
r = 1/2 x bidang datar
= 1/2 x 3
= 3/2
luas = 1/2 x π x r²
= 1/2 x 22/7 x (3/2)²
= 11/7 x (3/2) x (3/2)
= 11/7 x 9/4
= 99/28 cm²
luas 1/2 lingkaran pada tinggi ( luas B)
r = 1/2 x bidang tegak
= 1/2 x 4
= 2 cm
luas = 1/2 x π x r²
= 1/2 x 22/7 x 2²
= 11/7 x 4
= 44/7 cm²
luas 1/2 lingkaran bidang miring (luas C)
r = 1/2 x bidang miring
= 1/2 x 5
= 5/2
luas = 1/2 x π x r²
= 1/2 x 22/7 x (5/2)²
= 11/7 x 5/2 x 5/2
= 11/7 x 25/4
= 275/28 cm²
B.
hubungan ketiga luasnya adalah
luas A + luas B = luas C
99/28 + 44/7 = 275/28
99/28 + 176/28 = 275/28
275/28 = 275/28
_______________________________
Halaman 49-52
B. Esai/essay/uraian
Bab 6 (Teorema Pythagoras)
Matematika (MTK)
Kelas 8 SMP/MTS
Semester 2 K13
B. Esai
1. Tentukan nilai a pada gambar berikut.Penyelesaian:
Diketahui sisi miring segitiga siku-siku adalah r = (3a + 4) dan dua sisi yang lain adalah p = (a + 4) dan q = (3a + 2), dengan teorema pythagoras, diperoleh:
p² + q² = r²
(a + 4)² + (3a + 2)² = (3a + 4)²
(a + 4)(a + 4) + (3a + 2)(3a + 2) = (3a + 4)(3a + 4)
(a² + 4a + 4a + 16) + (9a² + 6a + 6a + 4) = 9a² + 12a + 12a + 16
(a² + 8a + 16) + (9a² + 12a + 4) = 9a² + 24a + 16
10a² + 20a + 20 = 9a² + 24a + 16
10a² + 20a + 20 – 9a² – 24a – 16 = 0
a² – 4a + 4 = 0
a² – 2a – 2a + 4 = 0
a(a – 2) – 2(a – 2) = 0
(a – 2)(a – 2) = 0
(a – 2)² = 0
(a – 2) = √0
a – 2 = 0
a = 2
_______________________________
2. Tentukan apakah ∆ABC dengan koordinat A(−2, 2) ,B(−1, 6) dan C(3, 5) adalah suatu segitiga siku-siku? Jelaskan.
Penyelesaian:
Tentukan panjang ketiga sisi segitiga tersebut :
AB = √(6-2)²+(-1+2)² = √(16+1) = √17
AC = √(5-2)²+(3+2)² = √(9+25) = √34
BC = √(5-6)²+(3+1)² = √(1+16) = √17
cek theorema pythagoras :
AB² + BC² = AC²
√17² +√17² = √34²
17 + 17 = 34
34 = 34
BENAR, ini adalah segitiga siku-siku
_______________________________
Penyelesaian:
Diketahui panjang sisi-sisi segitiga, yaitu :
(a² - b²), 2ab, (a² + b²).
Misalkan p = (a² - b²), q = 2ab, dan r = (a² + b²).
Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
p² + q² = r²
⇔ (a² - b²)² + (2ab)² = (a² + b²)²
⇔ (a²)² + [2a²(-b²)] + (-b²)² + 2²a²b² = (a²)² + 2a²b² + (-b²)²
⇔ a⁴ - 2a²b² + b⁴ + 4a²b² = a⁴ + 2a²b² + b⁴
⇔ a⁴ - 2a²b² + b⁴ + 4a²b² - a⁴ - 2a²b² - b⁴ = 0
⇔ 0 = 0
Jadi, terbukti bahwa (a² - b²), 2ab, (a² + b²) membentuk Tripel Pythagoras.
_______________________________
a. Bagaimana hubungan antara segitiga ABC dan segitiga ACD?
b. Tentukan besar sudut-sudut pada salah satu segitiga di samping.
c. Berapakah panjang diagonal AC? Jelaskan.
d. Misalkan panjang sisi persegi ABCD 6 satuan. Apakah yang berubah dari jawabanmu pada soal b dan c? Jelaskan.
Penyelesaian:
A). Δ ABC = Δ ACD
b). ∠ ABC = ∠ ADC = 90°
∠ ACB = ∠ ACD = 45°
∠ BAC = ∠ DAC = 45°
c). AC = √(AB² + BC²)
= √ 1² + 1²
= √2 satuan
d). Pada jawaban soal no b tidak ada yang berubah. Pada soal no c panjang AC berubah, yaitu:
AC = √(AB² + BC²)
= √ 6² + 6²
= √72 satuan
_______________________________
Penyelesaian:
_______________________________
Penyelesaian:
Untuk gambar segitiga ABC dan perbandingannya bisa dilihat pada dibawah ini.
Segitiga ABC mempunyai sudut 30° dan 60°.
Sisi yang diketahui adalah sisi AD = 8 cm
AB : BC : AC = √3 : 2 : 1
Menentukan panjang BC
AB : BC = √3 : 2
8 : BC = √3 : 2
BC√3 = 2 × 8
BC =
BC =
BC =
Menentukan panjang AC
AB : AC = √3 : 1
√3 AC = 8 × 1
AC =
AC =
AC =
Keliling ∆ ABC = AB + BC + AC
= (8 +
= (8 +
= (8 + 8√3) cm
= 8 (1 + √3) cm
Jadi keliling segitiga ABC adalah 8 (1 + √3) cm
_______________________________
a. Buatlah tabel yang menunjukkan jarak yang ditempuh kedua mobil dan jarak kedua mobil tersebut setelah 1 jam, 2 jam, dan 3 jam. Gambarkan perubahan jarak tersebut.
b. Misalkan mobil merah melaju dengan kecepatan 40 km/jam. Setelah 2 jam jarak antara kedua mobil 100 km. Berapakah kecepatan mobil hijau pada saat itu?
Keterangan: Jarak kedua mobil yang dimaksud adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedudukan dua mobil tersebut.
Penyelesaian:
A. mobil hijau 80 KM/JAM
waktu jarak
1 jam 80 km
2 jam 160km
3 jam 240 km
mobil merah 60 km/jam
waktu jarak
1 jam 60km
2 jam 120 km
3 jam 180 km
jarak antar mobil
1 jam 100 km
2 jam 200 km
3 jam 300 km
b. mobil merah 40 km/jam
jarak mobil 100 km
2 jam
mobil merah 80 km dr air mancur
√(100km kuadrat-80 km kuadrat)
mobil hijau=60km dr air mancur
krn 2jam
jd 30 km/jam
_______________________________
a. Tentukan keliling segitiga ACD.
b. Apakah hubungan antara keliling segitiga ACD dan ABC?
c. Apakah hubungan antara luas segitiga ACD dan ABC?
Penyelesaian:
diketahui AD = 8 cm pada Δ ADC
a. Menentukan keliling segitiga ACD
Perhatikan Δ ACD siku-siku di D,
∠ CAD = 60° dan ∠ ACD = 30°
AC : AD = 2 : 1
AC : 8 = 2 : 1
AC = 8 × 2
AC = 16 cm
AD : CD = 1 : √3
8 : CD = 1 : √3
8 / CD = 1 / √3
CD = 8 × √3
CD = 8√3 cm
Keliling Δ ACD = AD + CD + AC
= 8 cm + 8√3 cm + 16 cm
= 24 cm + 8√3 cm
= 8 (3 + √3) cm
b. Hubungan antara keliling Δ ACD dan Δ ABC
Perhatikan Δ ABC siku-siku di C, AC = 16 cm, ∠ CBA = 30° dan ∠ BAC = 60°
AC : BC = 1 : √3
16 : BC = 1 : √3
16 / BC = 1 / √3
BC = 16 × √3
BC = 16√3 cm
AC : AB = 1 : 2
16 : AB = 1 : 2
16 / AB = 1 / 2
AB = 16 × 2
AB = 32 cm
Keliling Δ ABC = AB + BC + AC
= 32 cm + 16√3 + 16 cm
= 48 cm + 16√3 cm
= 16 (3 + √3) cm
Hubungan keliling Δ ACD dan Δ ABC
selisih keliling Δ ABC dan Δ ACD
= 16 (3 + √3) cm - 8 (3 + √3) cm
= 8 (3 + √3) cm
perbandingan keliling Δ ACD dan Δ ABC
= 8 (3 + √3) : 16 (3 + √3)
= 1 : 2
c. Hubungan antara luas Δ ACD dan Δ ABC
Luas Δ ACD = 1/2 × AD × CD
= 1/2 × 8 cm × 8√3 cm
= 32√3 cm²
Luas Δ ABC = 1/2 × AC × BC
= 1/2 × 16 cm × 16√3 cm
= 8 cm × 16√3 cm²
= 128√3 cm²
selisih luas Δ ABC dan Δ ACD
= 128√3 cm² - 32√3 cm²
= 96√3 cm²
Perbandingan luas Δ ACD dan luas Δ ABC
= 32√3 cm² : 128√3 cm²
= 1 : 4
_______________________________
Penyelesaian:
_______________________________
a. Tentukan luas setiap setengah lingkaran.
b. Bagaimanakah hubungan ketiga luas setengah lingkaran tersebut!
Penyelesaian:
A.
luas 1/2 lingkaran pada alas ( luas A)
r = 1/2 x bidang datar
= 1/2 x 3
= 3/2
luas = 1/2 x π x r²
= 1/2 x 22/7 x (3/2)²
= 11/7 x (3/2) x (3/2)
= 11/7 x 9/4
= 99/28 cm²
luas 1/2 lingkaran pada tinggi ( luas B)
r = 1/2 x bidang tegak
= 1/2 x 4
= 2 cm
luas = 1/2 x π x r²
= 1/2 x 22/7 x 2²
= 11/7 x 4
= 44/7 cm²
luas 1/2 lingkaran bidang miring (luas C)
r = 1/2 x bidang miring
= 1/2 x 5
= 5/2
luas = 1/2 x π x r²
= 1/2 x 22/7 x (5/2)²
= 11/7 x 5/2 x 5/2
= 11/7 x 25/4
= 275/28 cm²
B.
hubungan ketiga luasnya adalah
luas A + luas B = luas C
99/28 + 44/7 = 275/28
99/28 + 176/28 = 275/28
275/28 = 275/28
_______________________________
Post a Comment for "Jawaban Esai Uji Kompetensi Bab 6 MTK Halaman 49 Kelas 8 (Teorema Pythagoras)"