Jawaban Uji Kompetensi 6.1 Bab 6 Kelas 10 Halaman 209 (Barisan dan Deret)

Uji Kompetensi 6.1
Halaman 209
Matematika Kelas 10 bab 6 (Barisan dan Deret)
Semester 1 K13

Jawaban Uji Kompetensi 6.1 Bab 6 Kelas 12 Halaman 2019 (Barisan dan Deret)

1. Tentukan banyak suku dan jumlah barisan aritmetika berikut!
a. 4 + 9 + 14 + 19 + ... + 104
b. 72 + 66 + 60 + 54 + ... + 12
c. –12 – 8 – 4 – 0 + ... + 128
d. –3 – 7 – 11 – 15 ... – 107
Jawab:

Dik:a. 4 + 9 + 14 + 19 + ... + 104b. 72 + 66 + 60 + 54 + ... + 12c. –12 – 8 – 4 – 0 + ... + 128d. –3 – 7 – 11 – 15 ... – 107Dit: banyak suku dan jumlah barisan aritmetika !Penyelesaian:

A). 4 +9+ 14+ 19+... 104a=4, b=5, Un=104n=(104-4+5)/5=105/5=21S21=21/2(4+104)=10,5(108)=1134
B). 72+ 66+ 60+ 54+... 12 a=72, b=-6, Un=12n=(12-72+(-6))/-6=-66/-6=11S11=11/2(72+12)=5,5(84)=462

C). -12- 8- 4- 0- ... +128 ( kok minus bukan +128? jika minus polanya salah)a=-12, b=4, Un=128n=(128-(-12)+4)/4=(128+12+4)/4=144/4=36S36=36/2(-12+128)=18(116)=2088

D). -3 -7 -11 -15 ... -107a=-3, b=-4, Un=-107n=(-107-(-3)+(-4))/-4=(-107+3-4)/-4=-108/-4=27S27=27/2(-3-107)=13,5(-110)=-1485

2. Tentukan banyak suku dari barisan berikut!
a. 6 + 9 + 12 + 15 + ... = 756
b. 56 + 51 + 46 + 41 + ... = – 36
c. 10 + 14 + 18 + 22 + ... = 640
Jawab:

Dik:a. 6 + 9 + 12 + 15 + ... = 756b. 56 + 51 + 46 + 41 + ... = – 36c. 10 + 14 + 18 + 22 + ... = 640Dit: banyak suku dari barisan !Penyelesaian:

A. 6 + 9 + 12 + 15 + ... = 756a = 6b = 9 - 6 = 3Sn = 756
Sn = n/2 (2a + (n - 1) b)756 = n/2 (2.6 + (n - 1) 3)756 = n/2 (12 + 3n - 3)756 = n/2 (9 + 3n)756 = 4,5n + 1,5n^2bagi 1,5504 = 3n + n^2n^2 + 3n - 504 = 0(n + 24) (n - 21) = 0n = -24 V n = 21
n = -24 -> TM
jadi,n = 21

B. 56 + 51 + 46 + 41 + ... = – 36a = 56b = -5
-36 = n/2 (2.56 + (n-1) -5)-36 = n/2 (112 -5n +5 )-72 = 117n - 5n^25n^2 - 117n - 72 = 0(5n + 3) (n - 24) = 0n = - 3/5 V n = 24
n=- 3/5 ->TM
jadi, n=24

C. 10 + 14 + 18 + 22 + ... = 640640 = n/2 (2.10 + (n-1) 4)640 = n/2 (16 + 4n)640 = 8n + 2n^2n^2 + 4n - 320 = 0(n+20)(n-16) = 0n=-20 V n=16
n=-20 -> TM
jadi,n= 16

3. Tentukan jumlah deret aritmetika berikut!
a. 3 + 9 + 18 + 30 + ... sampai dengan 18 suku.
b. 2 + 10 + 24 + 54 + ... sampai dengan 10 suku.
c. 1 + 7 + 18 + 34 + ... sampai dengan 14 suku.
d. 50 + 96 + 138 + 176 + ... sampai dengan 10 suku.
e. –22 – 38 – 48 – 52 – ... sampai dengan 20 suku.
Jawab:

Dik:a. 3 + 9 + 18 + 30 + ... sampai dengan 18 suku.b. 2 + 10 + 24 + 54 + ... sampai dengan 10 suku.c. 1 + 7 + 18 + 34 + ... sampai dengan 14 suku.d. 50 + 96 + 138 + 176 + ... sampai dengan 10 suku.e. –22 – 38 – 48 – 52 – ... sampai dengan 20 suku.Dit: Tentukan jumlah deret aritmetika !Penyelesaian:

A. 3 + 9 + 18 + 30 + ... sampai dengan 18 suku.3......12.....30.....60....9......18.....30........9.......12............3a = 3, b = 9, c = 9, d = 3 $\displaystyle S_n=\frac{a}{1}+\frac{b(n-1)}{1}+\frac{c(n-1)(n-2)}{1.2}+\frac{d(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3} \\\\ S_{18}=\frac{3}{1}+\frac{9.17}{1}+\frac{9.17.16}{2}+\frac{3.17.16.15}{6} \\\\ S_{18}=3+153+17.72+17.120 \\ S_{18}=156+1224+2040 \\ S_{18}=3420$

b. 2 + 10 + 24 + 54 + ... sampai dengan 10 suku.2......12.......36......90....10......24......54.........8.......14.............6a = 2, b = 10, c = 8, d = 6 $\displaystyle S_n=\frac{a}{1}+\frac{b(n-1)}{1}+\frac{c(n-1)(n-2)}{1.2}+\frac{d(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3} \\\\ S_{10}=\frac{2}{1}+\frac{10.9}{1}+\frac{8.9.8}{2}+\frac{6.9.8.7}{6} \\\\ S_{10}=3+90+288+504 \\ S_{10}=885$

c. 1 + 7 + 18 + 34 + ... sampai dengan 14 suku.1......8....7.....18.....34.......11.....16............5a = 1, b = 7, c = 11, d = 5 $\displaystyle S_n=\frac{a}{1}+\frac{b(n-1)}{1}+\frac{c(n-1)(n-2)}{1.2}+\frac{d(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3} \\\\ S_{14}=\frac{1}{1}+\frac{7.13}{1}+\frac{11.13.12}{2}+\frac{5.13.12.11}{6} \\\\ S_{14}=1+91+858+1430 \\ S_{14}=2380$

d. 50 + 96 + 138 + 176 + ... sampai dengan 10 suku.50.......146.....96........138......176...........42.........38.................-4a = 50, b = 96, c = 42, d = -4 $\displaystyle S_n=\frac{a}{1}+\frac{b(n-1)}{1}+\frac{c(n-1)(n-2)}{1.2}+\frac{d(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3} \\\\ S_{10}=\frac{50}{1}+\frac{96.9}{1}+\frac{42.9.8}{2}+\frac{-4.9.8.7}{6} \\\\ S_{10}=50+864+1512-336 \\ S_{10}=2090$

e. –22 – 38 – 48 – 52 – ... sampai dengan 20 suku.-22.......-60.........-38.....-48.....-52..........-10.....-4...............6a = -22, b = -38, c = -10, d = 6 $\displaystyle S_n=\frac{a}{1}+\frac{b(n-1)}{1}+\frac{c(n-1)(n-2)}{1.2}+\frac{d(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3} \\\\ S_{20}=\frac{-22}{1}+\frac{-38.19}{1}+\frac{-10.19.18}{2}+\frac{6.19.18.17}{6} \\\\ S_{20}=-22-722-1710+5814 \\ S_{20}=3360$

4. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-7 dan suku ke-10 berturut-turut adalah 25 dan 37. Tentukanlah jumlah 20 suku pertama!
Jawab:

Dik: suku ke-7 dan suku ke-10 berturut-turut adalah 25 dan 37DIt: Tentukanlah jumlah 20 suku pertamaPenyelesaian:

Suku ke-n ⇒ Un = a + (n - 1)bJumlah n suku pertama ⇒ Sn = n/2.[2a + (n - 1)b]
U₇ = 25 dan U₁₀ = 37
Sehingga,a + 9b = 37a + 6b = 25---------------- ( - )3b = 12Diperoleh beda b = 4

Substitusikan b ke salah satu persamaana + 6(4) = 25a + 24 = 25a = 25 - 24Diperoleh suku pertama a = 1

Ditanya jumlah 20 suku pertama
S₂₀ = 20/2.[2(1) + (20 - 1)(4)]S₂₀ = 10.[2 + 76]S₂₀ = 10 x 78S₂₀ = 780

Jadi jumlah 20 suku pertama adalah 780

5. bila a,b,c merupakan suku berurutan yang membentuk barisan aritmetika, buktikan bahwa ketiga suku berurutan berikut ini juga membentuk barisan aritmetika 1/bc , 1/ca , 1/ab .
Jawab:

Dik: a,b,c merupakan suku berurutan yang membentuk barisan aritmetikaDIt: buktikan bahwa membentuk barisan aritmetika 1/bc , 1/ca , 1/ab .Penyelesaian:

Deret aritmetikaa, b, c --> a + c = 2b ...(1).1/bc , 1/ac, 1/ab --> Deret aritmetika1/bc + 1/ab = 2 /ac(ab + bc)/ b²(ac) = 2/ac

ruas kiri = ruas kanan(ab+bc)/b²(ac) = 2/acb(a+c) /b²(ac) = 2/acb(2b)/ b²(ac) = 2/ac2b²/b²(ac) = 2/ac2/ac = 2/ac..

6. Tentukan banyak bilangan asli yang kurang dari 999 yang tidak habis dibagi 3 atau 5.
Jawab:

Dik: DIt: banyak bilangan asli yang kurang dari 999 yang tidak habis dibagi 3 atau 5.Penyelesaian:

yang habis di bagi 3
n = 999/3
= 333 karna kurang dari maka - 1
= 333-1
= 332
yang habis di bagi 5
n = 999/5
= 199.8
= 199
yang habis di bgi 3 dan 5 ( kpk 3 dan 5 adalah 15)
n = 999/15
= 66,6
= 66
maka bilangan asli yang tidak habis di bagi 3 atau lima
banyk bilangan
n = bilangan kurang dari 999 - habis di bagi 3 - habis di bagi 5 + habis di bagi 3 dan 5
= 998 - 332- 199+66
= 533
jawabannya adalah 533

7. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 … Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2004 ? (bilangan ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2).

Jawab:

Dik: bilangan asli 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26Dit: Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2004 ? (bilangan ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2).Penyelesaian:

U15=a+14b=2
U12=a+11b=1
---------------------- -
3b=1
b=1/3

a+11b=1
a+11/3=1
a=3/3-11/3
a=-8/3

U2004=a+2003b
U2004=-8/3+2003/3
U2004=1995/3
U2004=665

8. Pola A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D ... berulang sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati urutan 2^6 dan 3^4?
Jawab:

Dik: Pola A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D ... DIt: Huruf apakah yang menempati urutan 2^6 dan 3^4?Penyelesaian:

2^{6} = 64 = c. Kenapa? karena pada pola tersebut sukunya berulang setiap 10 suku dan suku ke 64 angka satuannya adalah 4, dan suku ke 4 adalah C

3^{4} = 81 = a. Alasannya sama seperti diatas, cuman suku ke 81 angka satuannya adalah 1, dan suku ke 1 adalah A

9. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 … Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2013? (bilangan ke-11 adalah angka 1 dan bilangan ke-12 adalah angka 6).

Jawab:

Dik: bilangan asli 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26DIt: Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2013? (bilangan ke-11 adalah angka 1 dan bilangan ke-12 adalah angka 6).Penyelesaian:

A = 11b = 1Un = a (n-1)b = 11 ( 2013-1) b = 11 ( 2012) = 22132soal lannyaU11 ⇒ a + 10b = 1u12 ⇒ a + 11b = 6 -b = -5
subtitusikana = 1 -10b = 1 - 10(-5) = 1 + 50 = 51

10. Suatu perusahaan minuman kaleng pada bulan Januari 2012 memproduksi 40.000 minuman kaleng. Setiap bulan perusahaan tersebut menaikkan produksinya secara tetap sebanyak 250 kaleng. Berapa banyak minuman kaleng yang diproduksi perusahaan sampai akhir bulan Juni 2013?
Jawab:

Dik:suku pertama = a = 40.000beda = b = 250Dit: jumlah suku ke 18 = $S_{18}$ = ...Penyelesaian:

$S_{n}= \frac{n}{2}(2a+(n-1))b)$ $S_{18} = \frac{18}{2}(2*40.000+(18-1)250)$ = 9 ( 80.000 + 17*250)= 9 ( 80.000 + 4.250)= 9 (84.250)= 758.250

Jadi, banyak minuman kaleng yang diproduksi perusahaan sampai akhir bulan juli 2013 adalah 758.250