Jawaban Ayo Kita Berlatih 6.4 Bab 6 MTK Halaman 40 Kelas 8 (Teorema Pythagoras)

Ayo Kita Berlatih 6.4
Halaman 40-42
Bab 6 (Teorema Pythagoras)
Matematika (MTK)
Kelas 8 SMP/MTS
Semester 2 K13

1. Tentukan panjang sisi yang ditunjukkan oleh huruf pada setiap gambar
di bawah.

Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut, perbandingan sisi-sisi segitiga ditunjukkan pada gambar tersebut.

Pada gambar pertama (kiri), segitiga nya adalah segitiga siku-siku sama kaki. Perbandingan sisi nya :
sisi di depan sudut 45° : sisi di depan sudut 45° : sisi di depan sudut 90°
=1:1:√2

Pada gambar kedua (kanan), perbandingan sisi nya:
sisi di depan sudut 30° : sisi di depan sudut 60° : sisi di depan sudut 90°
= 1:√3:2

A. a/√32=1/√2
√2×a=√32
a=√32/√2
a=√16
a=4 satuan

B. 72/a=1/√2
a=72×√2
a=72√2 satuan

C. b/16=√3/2
2b=16√3
b=(16√3)/2
b=8√3cm

D. c/17√2=1/√3
√3×c=17√2
$c= \frac{17 \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } \times \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = \frac{17 \sqrt{6} }{3}$ satuan

d/17√2=2/√3
√3×d=17√2×2
√3d=34√2
$d= \frac{34 \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } \times \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = \frac{34 \sqrt{6} }{3}$ satuan

E. a/5=2/1
a=5×2
a=10 satuan

b/5=√3/1
b=5×√3
b=5√3 satuan

F. d/20=1/2
2d=20
d=20/2
d=10 satuan

e/20=√3/2
2×e=20×√3
e=(20√3)/2
e=10√3 satuan
_____________________________

2. Tentukan keliling persegi ABCD berikut.

Penyelesaian:
Diketahui :

Persegi ABCD
diagonal AC = 18√2

Ditanya :
Keliling persegi ABCD

jawab :
Perbandingan AB : AC = 1 : √2
AB : 18√2 = 1 : √2
$\frac{AB}{18 \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} }$
AB = $\frac{18 \sqrt{2} }{ \sqrt{2} }$
AB = 18
AB = BC = 18

Keliling = 4 × s
= 4 × 18
= 72

Jadi keliling persegi ABCD adalah 72
_____________________________

3. Tentukan luas segitiga berikut.

Penyelesaian:
Dalam gambar, sudut-sudut dalam segitiga itu adalah 45°, 45° dan 90°

Perbandingan sisi-sisi segitiga dengan sudut istimewa 45°

∠ 45 : ∠ 45 : ∠90 = 1 : 1 : √2

Diketahui panjang sisi miring atau panjang sisi yang menghadap sudut 90 adalah 16, untuk mencari luas segitiga kita cari panjang sisi-sisi siku-sikunya

Panjang sisi siku-siku : panjang sisi miring = 1 : √2

Panjang sisi siku-siku : 16 = 1 : √2

Panjang sisi siku-siku = 1/√2 x 16
= 1/2 x √2 x 16
= 8√2

Luas segitiga = 1/2 x panjang sisi siku-siku x panjang sisi siku-siku
= 1/2 x 8√2 x 8√2
= 4√2 x 8√2
= 32√4
= 32 x 2
= 64 satuan luas

Jadi luas segitiga tersebut adalah 64 satuan luas
_____________________________

4. Apa yang salah dengan gambar di bawah ini? Jelaskan.

Penyelesaian:
Agar lebih mudah dalam menjelaskan jawaban, kita misalkan

sisi a = 8 cm berhadapan dengan sudut 30ᵒ
sisi b = 15 cm berhadapan dengan sudut 60ᵒ
sisi c = 17 cm berhadapan dengan sudut 90ᵒ
∠B = 60ᵒ

Ada beberapa kemungkinan kesalahan dalam segitiga pada gambar tersebut, tergantung yang diketahuinya.

Pertama

Jika sisi-sisi segitiga siku-siku tersebut adalah 8 cm, 15 cm dan 17 cm, maka kesalahannya adalah sudut dihadapan 15 cm ≠ 60ᵒ (besar sudutnya tidak perlu dituliskan), karena jika sudut-sudut pada segitiga tersebut adalah 30ᵒ, 60ᵒ dan 90ᵒ, maka perbandingan sisi-sisinya pada segitiga tersebut seharusnya adalah 1 : √3 : 2

Kedua
Jika ∠B = 60ᵒ dan a = 8 cm, maka b ≠ 15 cm dan c ≠ 17 cm,
Dengan perbandingan, diperoleh sisi b dan c yaitu
a : b = 1 : √3
$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{8 \: cm}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
b = 8√3 cm

a : c = 1 : 2
$\frac{a}{c} = \frac{1}{2}$
$\frac{8}{c} = \frac{1}{2}$
c = 16 cm
jadi jika ∠B = 60ᵒ dan a = 8 cm, maka ukuran segitiga tersebut adalah 8 cm, 8√3 cm dan 16 cm

Ketiga
Jika ∠B = 60ᵒ dan b = 15 cm, maka a ≠ 8 cm dan c ≠ 17 cm,
Dengan perbandingan, diperoleh sisi b dan c yaitu
a : b = 1 : √3
$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{a}{15 \: cm} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
a√3 = 15 cm -------> kedua ruas kali √3
a√3 × √3 = 15 cm × √3
a√9 = 15√3 cm
a.3 = 15√3 cm
a = 5√3 cm

b : c = √3 : 2
$\frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{15 \: cm}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
c√3 = 2(15 cm) -------> kedua ruas kali √3
c√3 × √3 = 30 cm × √3
c√9 = 30√3 cm
c.3 = 30√3 cm
c = 10√3 cm
jadi jika ∠B = 60ᵒ, dan b = 15 cm maka ukuran segitiga tersebut adalah 5√3 cm, 15 cm dan 10√3 cm

Keempat
Jika ∠B = 60ᵒ dan c = 17 cm, maka a ≠ 8 cm dan b ≠ 15 cm,
Dengan perbandingan, diperoleh sisi b dan c yaitu
a : c = 1 : 2
$\frac{a}{c} = \frac{1}{2}$
$\frac{a}{17 \: cm} = \frac{1}{2}$
2a = 17 cm
a = 8,5 cm

b : c = √3 : 2
$\frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{b}{17 \: cm} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2b = 17√3 cm
b = 8,5√3 cm
jadi jika ∠B = 60ᵒ, dan c = 17 cm maka ukuran segitiga tersebut adalah 8,5 cm; 8,5√3 cm dan 17 cm
_____________________________

5. Tentukan luas persegi panjang KLMN berikut.

Penyelesaian:
Step-1: perbandingan panjang sisi-sisi

Perhatikan segitiga siku-siku KLN.

sisi di hadapan sudut 30° = KN
sisi di samping sudut 30° = KL
sisi miring (diagonal persegi panjang) = LN
Dalam segitiga siku-siku dengan sudut 30°, terdapat perbandingan panjang sisi-sisi sebagai berikut:
$\boxed{~KN : KL : LN = 1 : \sqrt{3} : 2~}$
Perbandingan panjang sisi-sisi ini sesuai dengan teorema Phytagoras, yakni
$\boxed{~KN^2+KL^2=LN^2 \rightarrow (1)^2 + (\sqrt{3})^2 = (2)^2~}$

Step-2: mencari panjang sisi KN dan KL

Diketahui LN = 8 cm, maka gunakan perbandingan

KN : LN = 1 : 2 atau $\frac{KN}{LN} = \frac{1}{2}$
$KN = LN \times \frac{1}{2}$
$KN = 8 \times \frac{1}{2}$
Diperoleh KN = 4 cm

KL : LN = √3 : 2 atau $\frac{KL}{LN} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$KL = LN \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$KL = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
Diperoleh KL = 4√3 cm

Kita amati peranan dari panjang sisi miring LN serta perbandingan panjang sisi-sisi yang diperlukan untuk menghitung panjang sisi KN dan KL.

Step-3: menghitung luas persegi panjang KLMN
Luas KLMN = panjang x lebar
Luas KLMN = KL x KN
Luas KLMN = 4√3 x 4
Diperoleh luas KLMN sebesar 16√3 cm².
_____________________________

6. Perhatikan gambar segitiga siku-siku ABC di bawah. Tentukan:
a. keliling segitiga ABC,
b. tentukan luas segitiga ABC.

Penyelesaian:
Yang diketahui AD = 8 cm pada Δ ADC
Perhatikan Δ ADC siku-siku di D, ∠ CAD = 60° dan ∠ ACD = 30°

AC : AD = 2 : 1
AC : 8 = 2 : 1
AC = 8 × 2
AC = 16 cm

AD : CD = 1 : √3
8 : CD = 1 : √3
8 / CD = 1 / √3
CD = 8 × √3
CD = 8√3 cm

Perhatikan Δ BDC siku-siku di D, ∠ CBD = 30° dan ∠ DCB = 60°

CD : BD = 1 : √3
8√3 : BD = 1 : √3
8√3 / BD = 1 / √3
BD = 8√3 × √3
BD = 8 × 3
BD = 24 cm

CD : BC = 1 : 2
8√3 : BC = 1 : 2
8√3 / BC = 1 / 2
BC = 8√3 × 2
BC = 16√3 cm

a. Keliling Δ ABC = AD + BD + BC + AC
= 8 cm + 24 cm + 16√3 + 16 cm
= 48 cm + 16√3 cm
= 16 (3 + √3) cm
Jadi keliling segitiga ABC adalah 16 (3 + √3) cm

b. Luas Δ ABC = 1/2 × AB × CD
= 1/2 × (8 + 24) cm × 8√3 cm
= 1/2 × 32 × 8√3 cm²
= 16 × 8√3 cm²
= 128√3 cm²

Jadi luas segitiga ABC adalah 128√3 cm²
_____________________________

7. Tentukan luas trapesium di bawah ini.

Penyelesaian:

Tentukan luas trapesium di bawah ini. Dari tahapan pengerjaan diperoleh luas trapesium sebesar $\boxed{~\frac{1}{4}(2+ \sqrt{3}) \ satuan \ luas~}$ atau $\boxed{~(\frac{1}{2}+ \frac{1}{4} \sqrt{3}) \ satuan \ luas~}$

Pembahasan
Step-1: siapkan perbandingan dasar ΔABC

Pada gambar terlampir telah dibuat segitiga siku-siku ABC dengan ∠A = 30°.

Sesuai ketentuan, angka banding dari panjang sisi-sisinya adalah sebagai berikut:

sisi BC yang terletak di hadapan sudut A adalah 1;
sisi AB yang terletak di samping sudut A adalah √3;
sisi miring AC adalah 2
Jadi perbandingan dasarnya adalah BC : AB : AC = 1 : √3 : 2.

Mari kita pertegas sekali lagi. Pada segitiga siku-siku yang memuat sudut-sudut istimewa 30° dan 60°, perbandingan panjang sisi-sisi sebagai berikut:

angka banding panjang sisi depan sudut 30° (sisi samping sudut 60°) adalah 1;
angka banding panjang sisi samping sudut 30° (sisi depan 60°) adalah √3;
angka banding panjang sisi miring dengan sudut 30° dan 60° adalah 2.
Ketiga angka banding tersebut memenuhi teorema Phytagoras, $\boxed{~(1)^2 + (\sqrt{3})^2 = (2)^2~}$ . Ingat, (√3)² = 3.

Pada segitiga siku-siku sama kaki yang memuat sudut-sudut kaki 45°, perbandingan panjang sisi-sisi sebagai berikut:

angka banding panjang sisi depan dan samping sudut 45° adalah 1;
angka banding panjang sisi miring sudut 45° adalah √2.
Ketiga angka banding tersebut memenuhi teorema Phytagoras, $\boxed{~(1)^2 + (1)^2 = (\sqrt{2})^2~}$ . Ingat, (√2)² = 2.

Step-2: siapkan panjang sisi-sisi ΔKQL

Perhatikan segitiga siku-siku KLQ pada trapesium dengan ∠K = 30°.

Panjang sisi miring KQ telah diketahui sebesar 1 satuan panjang.

Hubungan antara KQ dan AC adalah KQ = ¹/₂ x AC.

Sehingga untuk memperoleh panjang KL dan QL kita kalikan angka-angka perbandingan dasar dengan ¹/₂.

⇒ KQ bersesuaian dengan AC, jadi KQ = ¹/₂ x 2 = 1

⇒ LQ bersesuaian dengan BC, jadi LQ = ¹/₂ x 1 = 0,5

⇒ KL bersesuaian dengan AB, jadi KL = ¹/₂ x √3 = 0,5√3

Step-3: hitung luas trapesium

ΔMNP kongruen dengan ΔKLQ.
Panjang PQ = LM = 1.
Panjang KN = KL + LM + LN, yakni 0,5√3 + 1 + 0,5√3 diperoleh KN = 1 + √3.
Sekali lagi kita pertegas data-data yang diperlukan,

panjang sisi atas trapesium = 1 satuan panjang;
panjang sisi alas trapesium adalah KN = 1 + √3 satuan panjang;
panjang tinggi trapesium = 0,5 satuan panjang.
$\boxed{~Luas \ trapesium = \frac{(jumlah \ dua \ sisi \ sejajar)\times tinggi}{2}~}$
$Luas = \frac{(1+1+ \sqrt{3})\times0,5 }{2}$
$Luas= \frac{2+ \sqrt{3} }{4}$

Diperoleh luas trapesium sebesar
$\frac{1}{4}(2+ \sqrt{3}) \ satuan \ luas \ atau \ (\frac{1}{2}+ \frac{1}{4} \sqrt{3}) \ satuan \ luas$
_____________________________

8. Perhatikan gambar segitiga ABC di bawah ini. Diketahui ∠ABC = 90°, ∠CDB = 45°, ∠CAB = 30°, dan AD = 2 cm. Tentukan panjang BC.

Penyelesaian:
Perhatikan gambar pada lampiran, perbandingan sisi-sisi segitiga ditunjukkan pada gambar tersebut.

Pada gambar pertama (kiri), segitiga nya adalah segitiga siku-siku sama kaki.
Perbandingan sisi nya :
sisi di depan sudut 45° : sisi di depan sudut 45° : sisi di depan sudut 90°=1:1:√2

Pada gambar kedua (kanan), perbandingan sisi nya:
sisi di depan sudut 30° : sisi di depan sudut 60° : sisi di depan sudut 90° = 1:√3:2
Perhatikan segitiga BCD:

∠DBC=90°
∠CDB=45°
∠BCB=180°-∠DBC-∠CDB=180°-90°-45°=45°
Jadi, segitiga BCD adalah segitiga siku-siku sama kaki, dengan BD=BC ... (persamaan 1)

Perhatikan segitiga ABC:
∠ABC=90°
∠CAB=30°
∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-90°-30°=60°
AD=2cm

Gunakan perbandingan sisi-sisi segitiga:
$\frac{BC}{AB}= \frac{1}{ \sqrt{3} }$
$\frac{BC}{AD+BD}= \frac{1}{ \sqrt{3} }$

subtitusi persamaan 1:
$\frac{BC}{AD+BD}= \frac{1}{ \sqrt{3} }$
$\frac{BC}{AD+BC}= \frac{1}{ \sqrt{3} }$
$\sqrt{3}BC=AD+BC \\ \sqrt{3} BC-BC=AD \\ (\sqrt{3}-1)BC=AD \\ BC= \frac{AD}{ \sqrt{3}-1 } \\ BC= \frac{2}{ \sqrt{3}-1 } \times \frac{ (\sqrt{3}+1) }{ (\sqrt{3}+1) } \\ BC= \frac{2( \sqrt{3}+1) }{(3-1)}= (\sqrt{3}+1)cm$
_____________________________

9. Perhatikan balok ABCD.EFGH di samping. Jika besar ∠BCA = 60o, tentukan:

a. panjang AC,
b. luas bidang ACGE.
Penyelesaian:
Untuk memudahkan mengingat perbandingan segitiga siku-siku yang mempunyai sudut 30° dan 60° adalah
sisi tependek = 1
sisi menengah = √3
sisi terpanjang = 2

atau bisa ditulis
alas : tinggi : hipotenusa = 1 : √3 : 2
----------------------------------------------------

Untuk lebih jelas gambarnya ada pada lampiran
Sepertinya tinggi balok belum ada.
Saya asumsikan saja tinggi balok sama dengan panjang BC

Diketahui :
∠ BCA = 60°
BC = CG = 24 cm

Ditanya :
a. Panjang AC ?
b. Luas bidang ACGE

Jawab :
a.
AC : BC = 2 : 1
AC : 24 = 2 : 1
AC / 24 = 2 / 1
AC = 24 × 2
AC = 48 cm
Jadi panjang AC adalah 48 cm

b.
Luas ACGE = AC × CG
= 48 cm × 24 cm
= 1152 cm²
Jadi luas bidang ACGE adalah 1152 cm²
_____________________________

10. Gambar di samping adalah jaring-jaring piramida segitiga.

a. Berapakah panjang b?
b. Berapakah luas permukaan piramida?
Penyelesaian:
Sisi b adalah sisi miring atau hipotenusa pada sebuah segitiga siku-siku sama kaki, maka untuk mencari b kita bisa menggunakan teorema phytagoras:
b²=4²+4²
b²=16+16
b²=32
b=√32
b=√(16×2)
b=4√2 cm

Sekarang perhatikan segitiga bagian alas piramida (lihat lampiran), diketahui alas segitiga nya adalah b=4√2cm. Tinggi segitiga dapat dicari dengan menggunakan teorema phytagoras:
t²=(4√2)²-(2√2)²
t²=32-8
t²=24
t=√24
t=√(4×6)
t=2√6 cm

Luas permukaan piramida=Luas alas + (3 x Luas sisi tegak)
=((1/2)×(4√2)×2√6)+(3×(1/2)×4×4)
=4√12+24
=(4√(4×3))+24
=(4×2√3)+24
=(8√3+24)cm²
_____________________________